Question

6．已知$\overrightarrow{a}$=（sinωx+cosωx，$\sqrt{3}$cosωx），$\overrightarrow{b}$=（cosωx-sinωx，2sinωx）（ω＞0），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，若f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）=1，a=$\sqrt{21}$，b+c=9，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由向量数量积的坐标表示，f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（sinωx+cosωx）（cosωx-sinωx）+$\sqrt{3}$cosωx•2sinωx，根据二倍角公式及辅助角公式即可求得f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），由f（x）的最小正周期为π，即$\frac{2π}{2ω}$=π，求得ω，写出f（x）的解析式；
（2）由f（A）=1，2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，即sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，由0＜A＜π，求得A=$\frac{π}{3}$，由余弦定理cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，即可求得bc的值，由三角形的面积公式即可求得△ABC的面积．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（sinωx+cosωx）（cosωx-sinωx）+$\sqrt{3}$cosωx•2sinωx，
=cos²ωx-sin²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx，
=cos2ωx+$\sqrt{3}$sin2ωx，
=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），
∵f（x）的最小正周期为π．
∴$\frac{2π}{2ω}$=π，即ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（2）由（1）可知：f（A）=1，即2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，即A=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理可知：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{（b+c）^{2}-2bc-{a}^{2}}{2bc}$，解得：bc=20，
△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×20×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=5$\sqrt{3}$，
△ABC的面积5$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦函数图象及性质，考查向量数量积的坐标表示，二倍角公式，辅助角公式，余弦定理及三角形的面积公式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．