Question

【题目】设数列 的前n项和为Sn ，且满足：
① ；② ，其中 且 ．
（1）求p的值；
（2）数列 能否是等比数列？请说明理由；
（3）求证：当r 2时，数列 是等差数列．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）n 1时， ，

因为 ，所以 ，

又 ，所以p 1．

（2）

不是等比数列．理由如下：

假设 是等比数列，公比为q，

当n 2时， ，即 ，

所以 （i）

当n 3时， ，即 ，

所以 ， （ii）

由（i）（ii）得q 1，与 矛盾，所以假设不成立．

故 不是等比数列．

（3）

当r 2时，易知 ．

由 ，得

时， ， ①

，②

②-①得， ，

即 ，

，

即

……

，

所以

令 d，则 ．

所以 .

又 时，也适合上式，

所以 ．

所以 ．

所以当r 2时，数列 是等差数列．

【解析】（1.）将n=1代入②得 分析可知只能是 =0，可算出p
（2.）假设是等比数列，将n=2、3分别代入得到q，判断是否与已知条件矛盾.
（3.）当n=2时，用前 项和减去 项和可得 之间关系，分析判断可证 是等差数列.
【考点精析】利用数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．