Question

【题目】已知函数f（x）=e1﹣x（﹣a+cosx），a∈R．
（Ⅰ）若函数y=f（x）在[0，π]存在单调增区间，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（ ）=0，证明：对于x∈[﹣1， ]，总有f（﹣x﹣1）+2f′（x）cos（﹣x﹣1）＞0．

Answer 1

【答案】解：（I）由题f'（x）=﹣e1﹣x（﹣a+cosx）﹣e1﹣xsinx=﹣e1﹣x（sinx+cosx﹣a），
因为x∈（0，π），函数y=f（x）在[0，π]存在单调增区间，
所以f'（x）=﹣e1﹣x（sinx+cosx﹣a）≥0，
即a≥ sin（x+ ）在x∈（0，π）恒成立，
而y=sin（x+ ）在x∈（0，π）的最大值是1，
故a≥ ；
（II）若f（ ）=0，则a=0，
f（﹣x﹣1）=ex+2cos（﹣x﹣1）=ex+2cos（x+1），
而2f'（x）cos（﹣x﹣1）=﹣2e1﹣x（sinx+cosx）cos（x+1），
又因为x∈[﹣1， ]，所以cos（x+1）＞0，
要证原不等式成立，只要证ex+2﹣2e1﹣x（sinx+cosx）＞0，
只要证ex+2＞2e1﹣x（sinx+cosx），
只要证e2x+1＞2 sin（x+ ），在x∈[﹣1， ]上恒成立，
首先构造函数g（x）=2x+2﹣2 sin（x+ ），x∈[﹣1， ]，
因为g′（x）=2﹣2 cos（x+ ）=2 （ ﹣cos（x+ ）），
可得，在x∈[﹣1，0]时，g'（x）≤0，即g（x）在[﹣1，0]上是减函数，
在x∈（0， ]时，g'（x）＞0，即g（x）在（0， ]上是增函数，
所以，在[﹣1， ]上，g（x）min=g（0）=0，所以g（x）≥0，
所以，2 sin（x+ ）≤2x+2，等号成立当且仅当x=0时，
其次构造函数h（x）=e2x+1﹣（2x+2），x∈[﹣1， ]，
因为h'（x）=2e2x+1﹣2=2（e2x+1﹣1），
可见x∈[﹣1，﹣ ]时，h'（x）≤0，即h（x）在[﹣1，﹣ ]上是减函数，
x∈（﹣ ， ]时，h'（x）＞0，即h（x）在（﹣ ， ]上是增函数，
所以在[﹣1， ]上，h（x）min=h（﹣ ）=0，所以h（x）≥0，
所以，e2x+1≥2x+2，等号成立当且仅当x=﹣时．
综上所述，e2x+1≥2x+2≥2 sin（x+ ），
因为取等条件并不一致，
所以e2x+1＞2 sin（x+ ），在x∈[﹣1， ]上恒成立，
所以x∈[﹣1， ]，总有f（﹣x﹣1）+2f'（x）cos（﹣x﹣1）＞0成立
【解析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，根据x的范围，判断出f′（x）的符号，从而求出函数的单调性，确定a的范围即可；（Ⅱ）问题转化为证明e2x+1＞2 sin（x+ ），在x∈[﹣1， ]上恒成立，构造函数g（x）=2x+2﹣2 sin（x+ ），x∈[﹣1， ]，求出g（x）的导数，判断出函数的单调性，从而证出结论．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．