Question

7．已知a，b＞0，且a+b=1，求：
（Ⅰ）$\frac{1}{a^2}$+$\frac{1}{b^2}$的最小值；
（Ⅱ）$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{ab}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）出现条件中和为定值，求函数中含有积的最值用基本不等式进行解答，即：ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²，则$\frac{1}{a^2}$+$\frac{1}{b^2}$≥$\frac{2}{ab}$，由此求得最值；
（Ⅱ）将$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{ab}$变形为2（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=4+2（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$），所以利用基本不等式进行解答．

解答 解：（Ⅰ）∵ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
∴当且仅当a=b时等号成立，
∵a+b=1，a=b=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{ab}$≥4．
∵$\frac{1}{a^2}$+$\frac{1}{b^2}$≥$\frac{2}{ab}$≥8，当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$时等号成立，
∴$\frac{1}{a^2}$+$\frac{1}{b^2}$≥8．
（Ⅱ）∵$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{ab}$
=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{a+b}{ab}$
=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$
=2（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）
=4+2（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）
≥4+4$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=8，当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$时等号成立，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{ab}$≥8．

点评 本题考查了基本不等式． 基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．