Question

已知等比数列{a_n}满足：2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=anlog2

1

an

，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求 2ⁿ⁺¹-S_n＞60n+2成立的正整数n的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设等比数列a_n的首项为a₁，公比为q，根据2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项，列出方程组解出首项为a₁，公比为q，进而求出数列{a_n}的通项公式，
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出a_n代入bn=anlog2

1

an

，求出{b_n}的通项公式，然后求出S_n的表达式，最后不等式求出正整数n的最小值．

解答：解：（Ⅰ）设等比数列a_n的首项为a₁，公比为q，
依题意，有

2a1+a3=3a2 a2+a4=2(a3+2)

?

a1(2+q2)=3a1q (1) a1(q+q3)=2a1q2+4  (2)

由（1）及a₁≠0，得q²-3q+2=0?q=1，或q=2，
当q=1时，（2）式不成立；当q=2时，符合题意，
把q=2代入（2）得a₁=2，所以，a_n=2•2^n-1=2ⁿ，
（Ⅱ）bn=anlog2

1

an

=2n•log2

1

2n

=-n•2n，
∴-S_n=1×2+2×2²+3×2³++n×2ⁿ（3）
∴-2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴++（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹（4）
（3）-（4）得S_n=-n•2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹-2，
2ⁿ⁺¹-S_n＞60n+2，
即∴n•2ⁿ⁺¹＞60n，
∴2ⁿ⁺¹＞60，
又当n≤4时，∴2ⁿ⁺¹≤2⁵=32＜60，
当n≥5时，∴2ⁿ⁺¹≥2⁶=64＞60，
故使2ⁿ⁺¹-S_n＞60•n+2成立的正整数n的最小值为5．

点评：本题主要考查数列求和和等比数列的通项公式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等比数列的性质和求和公式，注意本题对公比q的验证，这是本题容易出错的地方．