【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)若函数为定义域上的单调函数,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)若函数存在两个极值点
,
,且
,证明:
.
【答案】(1).(2)详见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)首先求得函数的定义域与导函数,然后结合判别式判断导函数的符号,得到函数的单调性,从而求得的取值范围;(Ⅱ)首先将问题转化为
有两个不等的实根
,
,由此得到
的范围,从而得到
,
的范围,然后根据
的表达式构造新函数,由此通过求导研究新函数的单调性使问题得证.
试题解析:(Ⅰ)函数的定义域为
,
由题意,
.
①若,即
,则
恒成立,
则在
上为单调减函数;
②若,即
,方程
的两根为
,
,当
时,
,所以函数
单调递减,当
时,
,所以函数
单调递增,不符合题意.
综上,若函数为定义域上的单调函数,则实数
的取值范围为
.
(Ⅱ)因为函数有两个极值点,所以
在
上有两个不等的实根,
即在
有两个不等的实根
,
,
于是,
且满足
,
,
,
同理可得.
,
令,
.
,
,
∵,∴
,
又时,
,∴
,则
在
上单调递增,
所以,即
,得证.
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【题目】已知函数f(x)=2x+2ax+b , 且f(1)= 、f(2)=
.
(1)求a、b的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明;
(3)先判断并证明函数f(x)在[0,+∞)上的单调性,然后求f(x)的值域.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校选择高一年级三个班进行为期二年的教学改革试验,为此需要为这三个班各购买某种设备1台.经市场调研,该种设备有甲乙两型产品,甲型价格是3000元/台,乙型价格是2000元/台,这两型产品使用寿命都至少是一年,甲型产品使用寿命低于2年的概率是,乙型产品使用寿命低于2年的概率是
.若某班设备在试验期内使用寿命到期,则需要再购买乙型产品更换.
(1)若该校购买甲型2台,乙型1台,求试验期内购买该种设备总费用恰好是10000元的概率;
(2)该校有购买该种设备的两种方案, 方案:购买甲型3台;
方案:购买甲型2台乙型1台.若根据2年试验期内购买该设备总费用的期望值决定选择哪种方案,你认为该校应该选择哪种方案?
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【题目】某种产品的以往各年的宣传费用支出(万元)与销售量
(万件)之间有如下对应数据
2 | 4 | 5 | 6 | 8 | |
4 | 3 | 6 | 7 | 8 |
(1)试求回归直线方程;
(2)设该产品的单件售价与单件生产成本的差为(元),若
与销售量
(万件)的函数关系是
,试估计宣传费用支出
为多少万元时,销售该产品的利润最大?(注:销售利润=销售额-生产成本-宣传费用)
(参考数据与公式: ,
,
)
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【题目】人耳的听力情况可以用电子测听器检测,正常人听力的等级为0-25(分贝),并规定测试值在区间
为非常优秀,测试值在区间
为优秀.某班50名同学都进行了听力测试,所得测试值制成频率分布直方图:
(Ⅰ)现从听力等级为的同学中任意抽取出4人,记听力非常优秀的同学人数为
,求
的分布列与数学期望;
(Ⅱ)在(Ⅰ)中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试,测试规则如下:四个音叉的发生情况不同,由强到弱的次序分别为1,2,3,4.测试前将音叉随机排列,被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号,
,
,
(其中
,
,
,
为1,2,3,4的一个排列).若
为两次排序偏离程度的一种描述,
,求
的概率.
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