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    【题目】已知函数.

    (1) 时，证明： ；

    (2)当时，直线和曲线切于点，求实数的值；

    (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

    【答案】（1）见解析；（2）；（3）.

    【解析】【试题分析】（1）依据题设条件构造函数，运用导数知识求出其最小值，从而使得不等式获证；（2）先设切点坐标为， ，然后建立方程组，求得.进而得到；（3）依据题设条件将不等式转化为恒成立， 进而分离参数，构造函数，将问题转化为求函数的最小值来求解：

    解：(1)记，

    ∵，

    令得，

    当， ， 递减；当， ， 递增，

    ∴，

    ，

    得.

    (2)切点为， ，则

    ，∴，

    ∵，∴由(1)得.

    所以.

    (3)由题意可得恒成立，

    所以，

    下求的最小值，

    ，

    由(1) 知且.

    所以， 递减，

    ∵，∴.

    所以.

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    （1）求实数的取值范围；

    （2）求证： .

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