Question

数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+nc（c是常数，n=1，2，3…），且a₁，a₂，a₃成公比不为1的等比数列．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）设bn=

1

an+1-2

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由递推关系求出数列的前3项，然后根据a₁，a₂，a₃成等比数列建立等式，从而求出c的值，注意验证；
（Ⅱ）当n≥2时，a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，…，a_n-a_n-1=（n-1）c，然后利用叠加法求出a_n，从而求出b_n，最后利用裂项求和法求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（Ⅰ）由题意，知a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，
∵a₁，a₂，a₃成等比数列，
∴（2+c）²=2（2+3c），
解得c=0，或c=2．
当c=0时，a₁=a₂=a₃，不合题意，舍去．
故c=2．
（Ⅱ）当n≥2时，
∵a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，…，a_n-a_n-1=（n-1）c，
∴a_n-a₁=[1+2+3+…+（n-1）]c
=

n(n-1)

2

c，
∵a₁=2，c=2，
∴a_n=2+n（n-1）=n²-n+2（n≥2，n∈N⁺），
当n=1时，上式也成立，
所以，a_n=n²-n+2（n∈N⁺），
∴bn=

1

an+1-2

=

1

(n+1)2-(n+1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴S_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

点评：本题主要考查了数列递推式，以及等比数列的性质和叠加法求出通项与裂项求和法进行求和，同时考查了计算能力，属于中档题．