Question

15．已知函数f（x）=lnx+ax+1，a∈R．
（Ⅰ）求f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义，求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）利用不等式恒成立进行转化，利用参数分离法进行转化，利用条件构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）=a+$\frac{1}{x}$，
则f′（1）=a+1，
f（1）=ln1+a+1=a+1，即切点坐标为（1，a+1），
则f（x）在x=1处的切线方程为y-（a+1）=（a+1）（x-1）；
即y=（a+1）x．
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0恒成立得lnx+ax+1≤0恒成立，即ax≤-（1+lnx），
则a≤-$\frac{1+lnx}{x}$，
设g（x）=-$\frac{1+lnx}{x}$，则g′（x）=-$\frac{\frac{1}{x}•x-（1+lnx）}{{x}^{2}}$=-$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
由g′（x）＞0得lnx＞0，得x＞1，此时函数递增，
由g′（x）＜0得lnx＜0，得0＜x＜1，此时函数递减，
即当x=1时，函数取得极小值，此时g（1）=-$\frac{1+ln1}{1}$=-1，
则g（x）≥-1，
则a≤-1．

点评 本题主要考查函数的导数的几何意义，以及不等式恒成立问题，构造函数，求函数的导数，利用导数的应用，转化为求函数的最值是解决本题的关键．