Question

【题目】已知三棱柱的底面是正三角形，侧面为菱形，且，平面平面，、分别是、的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）求与平面所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）连接交于点，连接、，证明四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理即可得出结论；

（2）取的中点，连接、、，证明出平面，进而可证明出；

（3）连接，证明出平面，可得出与平面所成的角为，通过解可得出的值.

（1）如图，连接交于点，连接、，则为的中点，

在三棱柱中，且，

、分别为、的中点，所以，且，

为的中点，且，则四边形为平行四边形，

，平面，平面，因此，平面；

（2）取的中点，连接、、，

四边形为菱形，则，

、分别为、的中点，，则.

为等边三角形，为的中点，，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

平面，，

，平面，

平面，；

（3）由（2）知，平面，所以，直线与平面所成的角为，

，，则为等边三角形，所以，，

同理可得，，

平面，平面，，

则为等腰直角三角形，且，

因此，与平面所成角为.