Question

2．已知2cosθ+sinθ=1，求tan（$\frac{π}{4}$-θ）的值．

Answer 1

分析 由题意和cos²θ+sin²θ=1，解方程组可得sinθ和cosθ，分类讨论由诱导公式或两角差的正切公式可得．

解答 解：∵2cosθ+sinθ=1，cos²θ+sin²θ=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=0}\\{sinθ=1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=\frac{4}{5}}\\{sinθ=-\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
当$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=0}\\{sinθ=1}\end{array}\right.$时，θ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴tan（$\frac{π}{4}$-θ）=tan（$\frac{π}{4}$-2kπ-$\frac{π}{2}$）
=tan（-$\frac{π}{4}$）=-1；
当$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=\frac{4}{5}}\\{sinθ=-\frac{3}{5}}\end{array}\right.$时，tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=-$\frac{3}{4}$，
∴tan（$\frac{π}{4}$-θ）=$\frac{1-tanθ}{1+tanθ}$=7
综上可得tan（$\frac{π}{4}$-θ）的值为-1或7

点评 本题考查两角和与差的正切函数，涉及分类讨论的思想，属基础题．