Question

11．已知幂函数g（x）=（m²-3）x^m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，且对数函数f（x）满足f（-m+1）+f（-m-1）=$\frac{1}{2}$
（1）求g（x）、f（x）的解析式
（2）若实数a满足f（2a-1）＜f（5-a），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据幂函数的定义与性质，列出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-3=1}\\{m＜0}\end{array}\right.$，求出m的值，得g（x）解析式；由f（x）是对数函数，且f（-m+1）+f（-m-1）=$\frac{1}{2}$，利用m的值求出f（x）的解析式；
（2）根据f（x）的单调性，把f（2a-1）＜f（5-a）转化，求出解集即可．

解答 解：（1）幂函数g（x）=（m²-3）x^m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-3=1}\\{m＜0}\end{array}\right.$，
解得m=-2，
∴g（x）=x²；
又∵f（x）是对数函数，且f（-m+1）+f（-m-1）=$\frac{1}{2}$，
∴设f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），
∴log_a（-m+1）+log_a（-m-1）=$\frac{1}{2}$，
即log_a（m²-1）=log_a3=$\frac{1}{2}$，
解得a=9，
∴f（x）=log₉x；
（2）∵实数a满足f（2a-1）＜f（5-a），
且f（x）=log₉x在（0，+∞）上单调递增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a-1＞0}\\{5-a＞0}\\{2a-1＜5-a}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{1}{2}}\\{a＜5}\\{a＜2}\end{array}\right.$；
即$\frac{1}{2}$＜a＜2，
∴实数a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，2）．

点评 本题考查了函数的性质与应用的问题，也考查了不等式的解法与应用问题，考查了转化思想的应用问题，是基础题目．