Question

20．已知函数f（x）=log_a（ax²+2x+a²）在[-4，-2]上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 令t（x）=ax²+2x+a²，则f（x）=log_at（x），当a＞1时，t（x）=ax²+2x+a²的对称轴为x=-$\frac{1}{a}$∈（-1，0），检验不满足条件．当0＜a＜1时，应有t（x）=ax²+2x+a²的对称轴x=-$\frac{1}{a}$≥-2，且t（-2）＞0，由此求得a的范围．

解答 解：∵函数f（x）=log_a（ax²+2x+a²）在[-4，-2]上是增函数，令t（x）=ax²+2x+a²，则f（x）=log_at（x）．
∴当a＞1时，t（x）=ax²+2x+a²的对称轴为x=-$\frac{1}{a}$∈（-1，0），
∴t（x）=ax²+2x+a²在[-4-2]上单调递减，f（x）是减函数，不满足条件．
当0＜a＜1时，t（x）=ax²+2x+a²的对称轴为x=-$\frac{1}{a}$＜-1，
要使函数f（x）=log_a（ax²+2x+a²）在[-4，-2]上是增函数，t（x）=ax²+2x+a²在[-4，-2]上是减函数，
故t（x）的图象对称轴x=-$\frac{1}{a}$≥-2，且t（-2）＞0．
即 $\frac{1}{a}$≤2，且t（-2）=4a-4+a²＞0，求得$\frac{1}{2}$≤a＜-2+2$\sqrt{2}$，
综上可得，a的范围为 得$\frac{1}{2}$≤a＜-2+2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．