Question

5．不等式（x+$\frac{1}{2}$）²＜log_ax的解集为（0，$\frac{1}{2}$），则a的值为（0，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 由已知得（x+$\frac{1}{2}$）²的最大值小于log_ax的最小值，从而（x+$\frac{1}{2}$）²＜1≤log_ax，由此能求出a的取值范围．

解答 解：∵（x+$\frac{1}{2}$）²＜log_ax的解集为（0，$\frac{1}{2}$），
∴（x+$\frac{1}{2}$）²的最大值小于log_ax的最小值，
∴（x+$\frac{1}{2}$）²＜1≤log_ax，
当a＞1时，log_ax递增，但最小值为负数不成立；
当0＜a＜1时，log_ax递减，
最小值在x=$\frac{1}{2}$上取到（但x取不到$\frac{1}{2}$）
∴log_a$\frac{1}{2}$≥1=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{2}$，
∴0＜a≤$\frac{1}{2}$．
∴a的取值范围为（0，$\frac{1}{2}$]．
故答案为：（0，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等价转化思想和对数性质及运算法则的合理运用．