Question

15．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x，x＜0}\\{-{x}^{2}，x≥0}\end{array}\right.$，则f（f（1））=0，方程f（f（x））=1的解是-$\frac{\sqrt{2+2\sqrt{5}}}{2}$．

Answer 1

分析 由分段函数可得f（1）=-1，f（f（1））=0，从而解方程f（f（x））=1即可．

解答 解：f（1）=-1²=-1，
f（f（1））=f（-1）=1-1=0，
∵f（f（x））=1，
∴f²（x）+f（x）=1，
解得，f（x）=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，f（x）=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（舍去）；
故∵x²+x≥-$\frac{1}{4}$，∴-x²=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，
∴x²=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故x=-$\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$=-$\frac{\sqrt{2+2\sqrt{5}}}{2}$或x=$\frac{\sqrt{2+2\sqrt{5}}}{2}$（舍去）；
故答案为：0，-$\frac{\sqrt{2+2\sqrt{5}}}{2}$．

点评 本题考查了分段函数的应用及方程的求解．