Question

10．设函数f（x）=|x-a|-x．
（1）当a=3时，求函数f（x）的值域；
（2）若g（x）=|x+1|，求不等式g（x）+x＞1-f（x）恒成立时a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）代入可得f（x）=|x-3|-x，去绝对值，分类讨论即可；
（2）整理不等式得|x+1|+|x-a|＞1恒成立，只需求左式的最小值，利用绝对值不等式性质可解．

解答 解：（1）当a=3时，
f（x）=|x-3|-x，
当x≥3时，f（x）=-3．
当x＜3时，f（x）=-2x+3，
∴f（x）＞f（3）=-3，
∴f（x）的值域为[-3，+∞）；
（2）g（x）+x＞1-f（x）恒成立，
∴|x+1|+|x-a|＞1恒成立，
∵|x+1|+|x-a|≥|x+1-（x-a）|=|a+1|，
∴|a+1|＞1，
∴a＞0或a＜-2．

点评 考查了绝对值函数和绝对值不等式性质，恒成立问题的转换．