Question

18．设x＞0，y＞0，且x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，求x$\sqrt{1+{y}^{2}}$的最大值．

Answer 1

分析 由基本不等式可得x$\sqrt{1+{y}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{2}$x•$\sqrt{1+{y}^{2}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{{（\sqrt{2}x）}^{2}+（\sqrt{1+{y}^{2}}）^{2}}{2}$，代值计算可得．

解答 解：∵x＞0，y＞0，且x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
∴x$\sqrt{1+{y}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{2}$x•$\sqrt{1+{y}^{2}}$
≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{{（\sqrt{2}x）}^{2}+（\sqrt{1+{y}^{2}}）^{2}}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{2{x}^{2}+{y}^{2}+1}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{2+1}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$
当且仅当$\sqrt{2}$x=$\sqrt{1+{y}^{2}}$即x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$且y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号，
∴x$\sqrt{1+{y}^{2}}$的最大值为$\frac{3\sqrt{2}}{4}$

点评 本题考查基本不等式求最值，变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．