Question

14．已知函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）求证：f（x）在区间[2，+∞）上为增函数；
（3）求f（x）在[-4，-1]上的最大值和最小值，并求出取得最值时对应的x的值．

Answer 1

分析 （1）运用奇偶性的定义，即可得到；
（2）运用单调性的定义，注意作差、变形和定符号、下结论，即可得证；
（3）运用单调性，即可得到所求最值．

解答 解：（1）函数的定义域为{x|x≠0，且x∈R}，
f（-x）=-x+$\frac{4}{-x}$=-（x+$\frac{4}{x}$）=-f（x），
则f（x）为奇函数；
（2）证明：设2≤m＜n，则f（m）-f（n）=（m+$\frac{4}{m}$）-（n+$\frac{4}{n}$）
=（m-n）（1-$\frac{4}{mn}$），
由2≤m＜n，可得m-n＜0，mn＞4，即为1-$\frac{4}{mn}$＞0，
则f（m）-f（n）＜0，
即有f（x）在区间[2，+∞）上为增函数；
（3）由f′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$可得f（x）在[-4，-2）递增，
在（-2，-1）递减，
可得x=-2处取得最大值，且为-4；
由f（-1）=-5，f（-4）=-5，
可得最小值为-5．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查运算能力，属于中档题．