Question

4．设△ABC的内角A，B，C所对的边长为a，b，c，且$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$，则sinA的最大值为 （　　）

• A． $\frac{\sqrt{15}}{8}$
• B． $\frac{\sqrt{15}}{6}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{8}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{6}$

Answer 1

分析 由$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$，可得a=$\frac{bc}{b+c}$≤$\frac{1}{2}\sqrt{bc}$，利用余弦定理及基本不等式，可求得cosA≥$\frac{7}{8}$，从而可得sinA的最大值．

解答 解：∵$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$，
∴a=$\frac{bc}{b+c}$≤$\frac{1}{2}\sqrt{bc}$，当且仅当b=c时取等号．
两边平方可得：a²≤$\frac{1}{4}$bc，
由余弦定理可得：b²+c²-2bccosA≤$\frac{1}{4}$bc，
∴2bc-2bccosA≤$\frac{1}{4}$bc，
化为cosA≥$\frac{7}{8}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$≤$\sqrt{1-（\frac{7}{8}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$．
故选：A．

点评 本题考查了余弦定理、基本不等式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．