Question

若函数f（x），g（x）都在区间I上有定义，对任意x∈I，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，则称函数f（x），g（x）为区间I上的“伙伴函数”．
（1）若f（x）=lgx，g（x）=lg（x+1）为区间[m，+∞）上的“伙伴函数”，求m的范围．
（2）判断f（x）=4^x，g（x）=2^x-1是否为区间（-∞，0]上的“伙伴函数”？
（3）若f（x）=x²+

1

2

，g（x）=kx为区间[1，2]上的“伙伴函数”，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据“伙伴函数”的定义，列出|f（x）-g（x）|=|lgx-lg（x+1）|≤1，解出即可得；
（2）根据定义，判断|f（x）-g（x）|=|4^x-2^x+1|=|t²-t+1|是否对于t=2^x∈（0，1]恒成立，利用换元法转化成二次函数求解即可；
（3）根据“伙伴函数”的定义，|f（x）-g（x）|=|x²+

1

2

-kx|≤1在x∈[1，2]时恒成立，转化成-1≤x²+

1

2

-kx≤1在x∈[1，2]的恒成立问题，利用参变量分离法转化即可求解．

解答：解：（1）由已知|f（x）-g（x）|=|lgx-lg（x+1）|=|lg

x

x+1

|≤1
所以-1≤lg

x

x+1

≤1，解得x≥

1

9

，从而m≥

1

9

，
（2）由已知|f（x）-g（x）|=|4^x-2^x+1|=|t²-t+1|，其中t=2^x∈（0，1]，
由二次函数的图象可知，当t∈（0，1]时，y=t²-t+1∈[

3

4

，1]，
所以|f（x）-g（x）|≤1恒成立，所以它们是“伙伴函数”
（3）由已知|f（x）-g（x）|=|x²+

1

2

-kx|≤1在x∈[1，2]时恒成立．
即-1≤x²+

1

2

-kx≤1在x∈[1，2]时恒成立，分离参数可得，

k≥x- 1 2x k≤x+ 3 2x

在x∈[1，2]时恒成立，
所以

k≥(x- 1 2x )max k≤(x+ 3 2x )min

函数y=x-

1

2x

在x∈[1，2]时单调递增，所以其最大值为2-

1

4

=

7

4

，
函数y=x+

3

2x

≥2

x• 3 2x

=

6

，可知其最小值为

6

，
所以

7

4

≤k≤

6

．

点评：本题考查了学生分析题意，理解题意的能力，同时涉及了有关函数恒成立的问题，主要是利用参变量分离的方法处理，将问题转化成函数求最值．属于中档题．