Question

已知函数f（x）=ax²+ax和g（x）=x-a．其中a∈R且a≠0．
（Ⅰ）若函数f（x）与g（x）的图象的一个公共点恰好在x轴上，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试问：△OAB的面积S有没有最值？如果有，求出最值及所对应的a的值；如果没有，请说明理由．
（Ⅲ）若p和q是方程f（x）-g（x）=0的两根，且满足0＜p＜q＜

1

a

，证明：当x∈（0，p）时，g（x）＜f（x）＜p-a．

Answer 1

分析：（1）若函数f（x）与g（x）的图象的一个公共点恰好在x轴上，说明函数f（x）与g（x）有共同的零点，即g（x）的零点也在函数f（x）的图象上，代入易求出a值．
（2）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，则将直线方程代入抛物线方程后，对应的二次方程有两不等的实数根，再将△OAB的面积函数表示出来，根据函数的性质，易得最值及对应的a值．
（3）综合零点的性质和不等式的性质，不难证明当x∈（0，p）时，g（x）＜f（x）＜p-a

解答：解：（Ⅰ）设函数g（x）图象与x轴的交点坐标为（a，0），
又∵点（a，0）也在函数f（x）的图象上，
∴a³+a²=0．
而a≠0，
∴a=-1
（Ⅱ）依题意，f（x）=g（x），即ax²+ax=x-a，
整理，得ax²+（a-1）x+a=0，①
∵a≠0，函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，
∴△＞0，即△=（a-1）²-4a²=-3a²-2a+1=（3a-1）（-a-1）＞0．
∴-1＜a＜

1

3

且a≠0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂，由①得，
x₁•x₂=1＞0，x1+x2=-

a-1

a

．
设点o到直线g（x）=x-a的距离为d，
则d=

|-a|

2

，|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+k2

|x1-x2|．
∴S_△OAB=

1

2

1+k2

|x1-x2|•

|-a|

2

=

1

2

-3a2-2a+1

=

1

2

-3(a+ 1 3 )2+ 4 3

．
∵-1＜a＜

1

3

且a≠0，
∴当a=-

1

3

时，S_△OAB有最大值

3

3

，S_△OAB无最小值．
（Ⅲ）由题意可知?f（x）-g（x）=a（x-p）（x-q）．
∵0＜x＜p＜q＜

1

a

，
∴a（x-p）（x-q）＞0，
∴当x∈（0，p）时，f（x）-g（x）＞0，
即f（x）＞g（x）．
又f（x）-（p-a）=a（x-p）（x-q）+x-a-（p-a）=（x-p）（ax-aq+1），
x-p＜0，?且ax-aq+1＞1-aq＞0，
∴f（x）-（p-a）＜0，
∴f（x）＜p-a，
综上可知，g（x）＜f（x）＜p-a．

点评：本题考查的主要知识点是函数零点的性质，即两个函数的图象的交点在x轴上，则说明两个函数有共同的零点，即一个函数的零点也在另一个函数的图象上，应该满足另一个函数的方程；若函数在（a，b）上有零点，则f（a）•f（b）＜0．