Question

17．在区间[-1，1]上任取一个数a，则曲线y=$\frac{2}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²在点x=a处的切线的倾斜角为锐角的概率为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 求得函数的导数，可得曲线在x=a处切线的斜率，由题意可得斜率大于0，解不等式可得a的范围，再由几何概率的公式，求出区间的长度相除即可得到所求．

解答 解：y=$\frac{2}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²在的导数为y′=2x²-x，
则曲线y=$\frac{2}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²在点x=a处的切线的斜率为k=2a²-a，
倾斜角为锐角，即为2a²-a＞0，
解得a＞$\frac{1}{2}$或a＜0，
由-1≤a≤1，可得$\frac{1}{2}$＜a≤1或-1≤a＜0，
则切线的倾斜角为锐角的概率为$\frac{1-\frac{1}{2}+1}{1-（-1）}$=$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查导数的应用：求切线的斜率和倾斜角，考查不等式的解法，同时考查几何概率的求法，注意运用区间的长度，考查运算能力，属于中档题．