Question

8．已知直线y=kx-1与双曲线x²-y²=4．
（1）当它们没有公共点时，求k取值范围；
（2）如果直线与双曲线相交弦长为4，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由题意令$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-{y}^{2}=4}\\{y=kx-1}\end{array}\right.$，得x²-（kx-1）²=4，整理得（1-k²）x²+2kx-5=0，当1-k²=0，k=±1时，显然符合条件；当1-k²≠0时，有△≥0．
（2）设直线与双曲线相交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=4，基础即可得出．

解答 解：（1）由题意令$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-{y}^{2}=4}\\{y=kx-1}\end{array}\right.$，得x²-（kx-1）²=4，整理得（1-k²）x²+2kx-5=0
当1-k²=0，k=±1时，显然符合条件；
当1-k²≠0时，有△=20-16k²≥0，解得-$\frac{\sqrt{5}}{2}$≤k≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
综上，k取值范围是k=±1，-$\frac{\sqrt{5}}{2}$≤k≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（2）设直线与双曲线相交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则x₁+x₂=$\frac{-2k}{1-{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{-5}{1-{k}^{2}}$，
则|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[\frac{4{k}^{2}}{（1-{k}^{2}）^{2}}-4×\frac{-5}{1-{k}^{2}}]}$=4，
化为：8k²-9k-1=0，
解得k=±$\frac{\sqrt{9+\sqrt{113}}}{4}$．

点评 本题考查了直线与双曲线相交问题、弦长公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．