Question

20．椭圆$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的两顶点为A，B如图，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．
（Ⅰ）当$|{CD}|=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$时，求直线l的方程；
（Ⅱ）当点P异于A，B两点时，求证：$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意求出椭圆的方程，设出直线l的方程，分k存在和不存在讨论．利用弦长公式和韦达定理求解k即可．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），可得P点的坐标为$（{-\frac{1}{k}，0}）$，利用韦达定理和斜率关系建立关系求解$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$为定值．

解答 解：（Ⅰ）由题意，设椭圆的标准方程为$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，
由已知得：$c=1，\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以$a=\sqrt{2}，b=1$，椭圆的方程为$\frac{y^2}{2}+{x^2}=1$，
当直线l与x轴垂直时与题意不符，
设直线l的方程为y=kx+1，C₁（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
将直线l的方程代入椭圆的方程化简得（k²+2）x²+2kx-1=0，
则${x_1}+x_2^{\;}=-\frac{2k}{{{k^2}+2}}$，${x_1}{x_2}=-\frac{1}{{{k^2}+2}}$，∴$|{CD}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{-\frac{2k}{{{k^2}+2}}}）}^2}+4×\frac{1}{{{k^2}+2}}}$=$\frac{{2\sqrt{2}（{{k^2}+1}）}}{{{k^2}+2}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，解得：$k=±\sqrt{2}$，
所以直线l的方程为$y=±\sqrt{2}x+1$，
（Ⅱ）证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符，
设直线l的方程为y=kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），∴P点的坐标为$（{-\frac{1}{k}，0}）$，
由（Ⅰ）知${x_1}+{x_2}=-\frac{2k}{{{k^2}+2}}$，${x_1}{x_2}=-\frac{1}{{{k^2}+2}}$，
且直线AC的方程为$y=\frac{y_1}{{{x_1}+1}}（{x+1}）$，且直线BD的方程为$y=\frac{y_2}{{{x_2}-1}}（{x-1}）$，
将两直线联立，消去y得$\frac{x+1}{x-1}=\frac{{{y_2}（{{x_1}+1}）}}{{{y_1}（{{x_2}-1}）}}$，
∵-1＜x₁，x₂＜1，∴$\frac{x+1}{x-1}$与$\frac{y_2}{y_1}$异号，
${（{\frac{x+1}{x-1}}）^2}=\frac{{{y_2}^2{{（{{x_1}+1}）}^2}}}{{{y_1}^2{{（{{x_2}-1}）}^2}}}=\frac{{2-2{x_2}^2}}{{2-2{x_1}^2}}•\frac{{{{（{{x_1}+1}）}^2}}}{{{{（{{x_2}-1}）}^2}}}=\frac{{（{1+{x_1}}）（{1+{x_2}}）}}{{（{1-{x_1}}）（{1-{x_2}}）}}$=$\frac{{1-\frac{2k}{{{k^2}+2}}-\frac{1}{{{k^2}+2}}}}{{1+\frac{2k}{{{k^2}+2}}-\frac{1}{{{k^2}+2}}}}={（{\frac{k-1}{k+1}}）^2}$，${y_1}{y_2}={k^2}{x_1}{x_2}+k（{{x_1}+{x_2}}）+1={k^2}（{-\frac{1}{{{k^2}+2}}}）+k（{-\frac{2k}{{{k^2}+2}}}）+1=-\frac{{2{{（{1+k}）}^2}}}{{{k^2}+2}}•\frac{k-1}{k+1}$，
∴$\frac{k-1}{k+1}$与y₁y₂异号，$\frac{x+1}{x-1}$与$\frac{k-1}{k+1}$同号，
∴$\frac{x+1}{x-1}=\frac{k-1}{k+1}$，解得，x=-k，
故Q点坐标为（-k，y₀），
$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=（{-\frac{1}{k}，0}）•（{-k，y_0^{\;}}）=1$，
故$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$为定值．

点评 本题主要考查了椭圆方程与直线的位置关系的灵活运用．直线方程斜率k存在和不存在讨论．以及弦长公式和韦达定理灵活性的运用和 计算能力．属于中档偏难的题．