Question

10．已知函数f（x）=x•e^x，若关于x的方程$[{f（x）+\frac{1}{2e}}]•[{f（x）-λ}]=0$有仅有3个不同的实数解，则实数λ的取值范围是[0，+∞）∪{-$\frac{1}{e}$}．

Answer 1

分析 令f（x）=t，研究f（x）的单调性和极值，判断f（x）=t的解的情况，从而确定关于t的方程（t+$\frac{1}{2e}$）（t-λ）=0的解的分布情况，进而得出λ的范围．

解答 解：f′（x）=e^x+xe^x=（1+x）e^x，
∴当x＜-1时，f′（x）＜0，当x＞-1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，-1）上是减函数，在（-1，+∞）上为增函数，
∴当x=-1时，f（x）取得极小值f（-1）=-$\frac{1}{e}$．
又当x＜0时，f（x）＜0，f（0）=0，
作出y=f（x）的大致函数函数图象如图所示：

设f（x）=t，
则当t＜-$\frac{1}{e}$时，方程f（x）=t无解；
当t=-$\frac{1}{e}$或t≥0时，方程f（x）=t只有一解；
当-$\frac{1}{e}$＜t＜0时，方程f（x）=t有两解．
∵$[{f（x）+\frac{1}{2e}}]•[{f（x）-λ}]=0$有仅有3个不同的实数解，
∴关于t的方程（t+$\frac{1}{2e}$）（t-λ）=0在（-$\frac{1}{e}$，0）和[0，+∞）∪{-$\frac{1}{e}$}上各有一解．
∵方程（t+$\frac{1}{2e}$）（t-λ）=0的解为t₁=-$\frac{1}{2e}$，t₂=λ．且-$\frac{1}{2e}$∈（-$\frac{1}{e}$，0），
∴λ∈[0，+∞）∪{-$\frac{1}{e}$}．
故答案为：[0，+∞）∪{-$\frac{1}{e}$}．

点评 本题考查了函数零点个数与函数单调性，极值的关系，函数单调性的判断，属于中档题．