Question

18．一个三棱锥的三视图如图所示，则其外接球的体积是$\frac{125\sqrt{2}}{3}π$．

Answer 1

分析 由已知中几何体的三视图，画出几何体的直观图，进而求出几何体的外接球的半径，可得答案．

解答 解：观察三视图，可得直观图如图所示．

该三棱锥ABCD的底面BCD是直角三角形，
AB⊥平面BCD，CD⊥BC，
侧面ABC，ABD是直角三角形；
由CD⊥BC，CD⊥AB，知CD⊥平面ABC，CD⊥AC，
AD是三棱锥ABCD外接球的直径，
AD²=AB²+BC²+CD²=50，
所以AD=5$\sqrt{2}$，
三棱锥ABCD外接球的体积V=$\frac{4}{3}π•（\frac{5\sqrt{2}}{2}）^{3}$=$\frac{125\sqrt{2}}{3}π$，
故答案为$\frac{125\sqrt{2}}{3}π$．

点评 本题考查的知识点是球的内接多面体，球的体积和表面积，棱锥的三视图，难度中档．