Question

16．设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2-x），当x∈[-2，0]时，f（x）=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^x-1，若在区间（-2，6）内关于x的方程f（x）-log _a（x+2）=0，恰有4个不同的实数根，则实数a（a＞0，a≠1）的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{4}$，1）
• B． （1，4）
• C． （1，8）
• D． （8，+∞）

Answer 1

分析 由题意求得函数的周期，根据偶函数的性质，及当x∈[-2，0]时，函数解析式，画出函数f（x）的图象，则数y=f（x）与y=log _a（x+2），在区间（-2，6）上有四个不同的交点，由对数函数的运算性质，即可求得a的取值范围．

解答 解：对于任意的x∈R，都有f（2+x）=f（2-x），
∴f（x+4）=f[2+（x+2）]=f[（x+2）-2]=f（x），
∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．
又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^x-1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，
若在区间（-2，6）内关于x的方程f（x）-log _a（x+2）=0，恰有4个不同的实数解，
则函数y=f（x）与y=log _a（x+2），在区间（-2，6）上有四个不同的交点，如下图所示：

又f（-2）=f（2）=f（6）=1，
则对于函数y=log _a（x+2），根据题意可得，当x=6时的函数值小于1，
即log _a8＜1，
由此计算得出：a＞8，
∴a的范围是（8，+∞），
故选D．

点评 本题综合考查了函数的奇偶性、周期性、函数的交点及方程的根，考查数形结合思想，属于中档题．