Question

1．在平面直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2cosθ-4sinθ．
（1）化曲线C₁，C₂的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）设曲线C₂与x轴的一个交点的坐标为P（m，0）（m＞0），经过点P作斜率为1的直线l，l交曲线C₂于A，B两点，求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据sin²θ+cos²θ=1消去曲线C₁的参数θ可得普通方程；根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得曲线C₂的普通方程；
（2）令曲线C₂的y=0，求解P的坐标，可得过P的直线方程，参数方程的几何意义求解即可．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$，消去参数可得：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，表示焦点在y轴上的椭圆方程．
曲线C₂的极坐标方程为ρ=2cosθ-4sinθ，可得ρ²=2ρcosθ-4ρsinθ，
∴x²+y²=2x-4y，整理得（x-1）²+（y+2）²=5，表示以（1，-2）为圆心，半径r=$\sqrt{5}$的圆．
（2）曲线C₂与x轴的一个交点的坐标为P（m，0）（m＞0），令y=0，解得x=2，
∴P（2，0），可得直线l：y=x-2．
将曲线C₁的参数方程带入直线l可得：$2\sqrt{3}$sinθ=2cosθ-2．
整理可得：cos（$θ+\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，即θ=2kπ或$θ=\frac{4π}{3}+2kπ$，（k∈Z）．
那么：A（2，0），B（-1，-3），
∴|AB|=$3\sqrt{2}$．

点评 本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及直线参数方程的几何意义应用的思想，属于中档题．