Question

11．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+$\sqrt{2}$．则b的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，求出tanB的值，确定出B的度数，利用三角形面积公式求出ac的值，利用余弦定理，基本不等式可求b的最小值．

解答 解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，
∵在△ABC中，sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C），
∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，
∴cosBsinC=sinCsinB，
∵C∈（0，π），sinC≠0，
∴cosB=sinB，即tanB=1，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{4}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{2}}{4}$ac=1+$\sqrt{2}$，
∴ac=4+2$\sqrt{2}$，
由余弦定理得到：b²=a²+c²-2accosB，即b²=a²+c²-$\sqrt{2}$ac≥2ac-$\sqrt{2}$ac=4，当且仅当a=c时取“=”，
∴b的最小值为2．
故选：A．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．