Question

16．已知定义在R上的函数f（x）=2^|x-m|-1（m∈R）为偶函数，记a=f（-2），b=f（log₂5），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（　　）

• A． a＜b＜c
• B． c＜a＜b
• C． a＜c＜b
• D． c＜b＜a

Answer 1

分析 根据题意，由于函数为偶函数，则有f（-x）=f（x），即2^|x-m|-1=2^|-x-m|-1，分析可得m=0，即可得函数f（x）的解析式，结合指数函数的性质可得当x≥0时，函数f（x）为增函数；对于a、b、c三个数，比较自变量绝对值的大小，结合函数的单调性，即可得答案．

解答 解：根据题意，函数f（x）=2^|x-m|-1（m∈R）为偶函数，
则有f（-x）=f（x），即2^|x-m|-1=2^|-x-m|-1，
分析可得m=0，
则f（x）=2^|x|-1=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，x≥0}\\{{\frac{1}{2}}^{x}-1，x＜0}\end{array}\right.$，
分析可得当x≥0时，函数f（x）为增函数；
a=f（-2）=f（2），b=f（log₂5），c=f（2m）=f（0），
又由0＜2＜log₂5，
则有c＜a＜b；
故选：B．

点评 本题考查函数偶函数的性质，关键是利用偶函数的性质求出m的值．