Question

6．已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x轴，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且长轴长是短轴长的$\sqrt{2}$倍．
（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）设P（2，0）过椭圆Γ左焦点F的直线l交Γ于A，B两点，若对满足条件的任意直线l，不等式$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}≤λ（{λ∈R}）$恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出椭圆方程；
（2）设出A，B坐标，讨论直线l的斜率，根据根与系数的关系得出$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$，求出$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最大值即可；

解答 解：（1）设椭圆Γ的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
则$\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{2}b\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，
解得a²=2，b²=1，
∴椭圆Γ的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\overrightarrow{PA}$=（x₁-2，y₁），$\overrightarrow{PB}$=（x₂-2，y₂），
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+y₁y₂．
①当直线l垂直x轴时，x₁=x₂=-1，y₁=-y₂且y₁²=$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=9-$\frac{1}{2}$=$\frac{17}{2}$．
②当直线l不垂直于x轴时，设直线l方程为：y=k（x+1），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
y₁y₂=k²（x₁+1）（x₂+1）=k²（x₁x₂+x₁+x₂+1）=$\frac{-{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+4-$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{17{k}^{2}+2}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{17}{2}$-$\frac{13}{2（2{k}^{2}+1）}$＜$\frac{17}{2}$．
∵对满足条件的任意直线l，不等式$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}≤λ（{λ∈R}）$恒成立，
∴λ≥$\frac{17}{2}$，即λ的最小值为$\frac{17}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，平面向量的数量积运算，根与系数的关系，属于中档题．