Question

14．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过点M（p，0）的直线交抛物线于A，B两点，若$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{MB}$，则$\frac{|AF|}{|BF|}$=（　　）

• A． 2
• B． $\frac{5}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 与p有关

Answer 1

分析 设直线方程为x=my+p，代入y²=2px，可得y²-2pmy-2p²=0，利用向量条件，求出A，B的坐标，利用抛物线的定义，即可得出结论．

解答 解：设直线方程为x=my+p，代入y²=2px，可得y²-2pmy-2p²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-2p²，
∵$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{MB}$，∴（p-x₁，-y₁）=2（x₂-p，y₂），
∴x₁=-2x₂+p，y₁=-2y₂，
可得y₂=p，y₁=-2p，
∴x₂=$\frac{1}{2}$p，x₁=2p，
∴$\frac{|AF|}{|BF|}$=$\frac{2p+\frac{1}{2}p}{\frac{1}{2}p+\frac{1}{2}p}$=$\frac{5}{2}$，
故选B．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识，考查抛物线的定义，属于中档题．