Question

15．如图，正方形ADMN与矩形ABCD所在的平面相互垂直，AB=2AD=6，点E为线段AB上一点．
（1）若点E是AB的中点，求证：BM∥平面NDE；
（2）若直线EM与平面所成角的大小为$\frac{π}{6}$，求V_E-ADMN：V_E-CDM．

Answer 1

分析 （1）连结AM，设AM∩ND=F，连结EF，推导出EF∥BM，由此能证明BM∥平面NDE．
（2）推导出AE=3$\sqrt{2}$，V_E-ADMN：V_E-CDM=$\frac{1}{3}×AE×{S}_{正方形ADMN}$：$\frac{1}{3}×AD×{S}_{△MDC}$，由此能求出结果．

解答 证明：（1）连结AM，设AM∩ND=F，连结EF，
∵四边形ADMN为正方形，∴F是AM的中点，
又∵E是AB中点，∴EF∥BM，
∵EF?平面NDE，BM?平面NDE，
∴BM∥平面NDE．
解：（2）∵正方形ADMN与矩形ABCD所在的平面相互垂直，
AB=2AD=6，点E为线段AB上一点．
直线EM与平面所成角的大小为$\frac{π}{6}$，
∴$∠DEM=\frac{π}{6}$，∴ME=6，DE=3$\sqrt{3}$，
AE=$\sqrt{27-9}$=3$\sqrt{2}$，
∴V_E-ADMN：V_E-CDM=$\frac{1}{3}×AE×{S}_{正方形ADMN}$：$\frac{1}{3}×AD×{S}_{△MDC}$
=$\frac{1}{3}×3\sqrt{2}×{3}^{2}$：$\frac{1}{3}×3×\frac{1}{2}×3×6$
=$\sqrt{2}：1$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查两个几何体的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．