Question

10．己知n为正整数，数列{a_n}满足a_n＞0，4（n+1）a_n²-na_n+1²=0，设数列{b_n}满足b_n=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{t}^{n}}$
（1）求证：数列{$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{n}}$}为等比数列；
（2）若数列{b_n}是等差数列，求实数t的值：
（3）若数列{b_n}是等差数列，前n项和为S_n，对任意的n∈N^*，均存在m∈N^*，使得8a₁²S_n-a₁⁴n²=16b_m成立，求满足条件的所有整数a₁的值．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}满足a_n＞0，4（n+1）a_n²-na_n+1²=0，化为：$\frac{{a}_{n+1}}{\sqrt{n+1}}$=2×$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{n}}$，即可证明．
（2）由（1）可得：$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{n}}$=${a}_{1}×{2}^{n-1}$，可得${a}_{n}^{2}$=n${a}_{1}^{2}$•4^n-1．数列{b_n}满足b_n=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{t}^{n}}$，可得b₁，b₂，b₃，利用数列{b_n}是等差数列即可得出t．
（3）根据（2）的结果分情况讨论t的值，化简8a₁²S_n-a₁⁴n²=16b_m，即可得出a₁．

解答 （1）证明：数列{a_n}满足a_n＞0，4（n+1）a_n²-na_n+1²=0，
∴$2\sqrt{n+1}{a}_{n}$=$\sqrt{n}$a_n+1，即$\frac{{a}_{n+1}}{\sqrt{n+1}}$=2$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{n}}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{n}}$}是以a₁为首项，以2为公比的等比数列．
（2）解：由（1）可得：$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{n}}$=${a}_{1}×{2}^{n-1}$，∴${a}_{n}^{2}$=n${a}_{1}^{2}$•4^n-1．
∵b_n=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{t}^{n}}$，∴b₁=$\frac{{a}_{1}^{2}}{t}$，b₂=$\frac{{a}_{2}^{2}}{{t}^{2}}$，b₃=$\frac{{a}_{3}^{2}}{{t}^{3}}$，
∵数列{b_n}是等差数列，∴2×$\frac{{a}_{2}^{2}}{{t}^{2}}$=$\frac{{a}_{1}^{2}}{t}$+$\frac{{a}_{3}^{2}}{{t}^{3}}$，
∴$\frac{2×2{a}_{1}^{2}×4}{t}$=${a}_{1}^{2}$+$\frac{3{a}_{1}^{2}×{4}^{2}}{{t}^{2}}$，
化为：16t=t²+48，解得t=12或4．
（3）解：数列{b_n}是等差数列，由（2）可得：t=12或4．
①t=12时，b_n=$\frac{n{a}_{1}^{2}•{4}^{n-1}}{1{2}^{n}}$=$\frac{n{a}_{1}^{2}}{4×{3}^{n}}$，S_n=$\frac{n（\frac{{a}_{1}^{2}}{12}+\frac{n{a}_{1}^{2}}{4×{3}^{n}}）}{2}$，
∵对任意的n∈N^*，均存在m∈N^*，使得8a₁²S_n-a₁⁴n²=16b_m成立，
∴$8{a}_{1}^{2}$×$\frac{n（\frac{{a}_{1}^{2}}{12}+\frac{n{a}_{1}^{2}}{4×{3}^{n}}）}{2}$-a₁⁴n²=16×$\frac{m{a}_{1}^{2}}{4×{3}^{m}}$，
∴${a}_{1}^{2}$$（\frac{n}{3}+\frac{{n}^{2}}{{3}^{n}}-{n}^{2}）$=$\frac{4m}{{3}^{m}}$，n=1时，化为：-$\frac{1}{3}{a}_{1}^{2}$=$\frac{4m}{{3}^{m}}$＞0，无解，舍去．
②t=4时，b_n=$\frac{n{a}_{1}^{2}•{4}^{n-1}}{{4}^{n}}$=$\frac{n{a}_{1}^{2}}{4}$，S_n=$\frac{n（\frac{{a}_{1}^{2}}{4}+\frac{n{a}_{1}^{2}}{4}）}{2}$，
对任意的n∈N^*，均存在m∈N^*，使得8a₁²S_n-a₁⁴n²=16b_m成立，
∴$8{a}_{1}^{2}$×$\frac{n（\frac{{a}_{1}^{2}}{4}+\frac{n{a}_{1}^{2}}{4}）}{2}$-a₁⁴n²=16×$\frac{m{a}_{1}^{2}}{4}$，
∴n${a}_{1}^{2}$=4m，
∴a₁=$2\sqrt{\frac{m}{n}}$．∵a₁为正整数，∴$\sqrt{\frac{m}{n}}$=$\frac{1}{2}$k，k∈N^*．
∴满足条件的所有整数a₁的值为{a₁|a₁=2$\sqrt{\frac{m}{n}}$，n∈N^*，m∈N^*，且$\sqrt{\frac{m}{n}}$=$\frac{1}{2}$k，k∈N^*}．

点评 本题考查了三角函数的诱导公式、等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．