Question

18．在直角坐标系xOy中，直线C₁：$y=-\sqrt{3}x$，曲线C₂的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=-\sqrt{3}+cosφ\\ y=-2+sinφ\end{array}\right.$（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C₁的极坐标方程和C₂的普通方程；
（Ⅱ）把C₁绕坐标原点沿顺时针方向旋转$\frac{π}{3}$得到直线C₃，C₃与C₂交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用ρsinθ=y，ρcosθ=x化简可得C₁的极坐标方程；根据同角三角函数关系式，消去参数，可得C₂直角坐标方程．
（Ⅱ）由题意可得C₃：$θ=\frac{π}{3}（ρ∈R）$，即$y=\sqrt{3}x$，再根据点到直线的距离公式和直角三角形即可求出．

解答 解：（Ⅰ）直线C₁：$ρsinθ=-\sqrt{3}ρcosθ⇒θ=\frac{2π}{3}（ρ∈R）$，
曲线C₂的普通方程为${（x+\sqrt{3}）^2}+{（y+2）^2}=1$．
（Ⅱ）C₃：$θ=\frac{π}{3}（ρ∈R）$，即$y=\sqrt{3}x$．
圆C₂的圆心到直线C₃的距离$d=\frac{{|{-3+2}|}}{2}=\frac{1}{2}$．
所以$|{AB}|=2\sqrt{{1^2}-\frac{1}{4}}=\sqrt{3}$．

点评 本题考查了极坐标方程、参数方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．