Question

9．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．若数列{b_n}满足：4${\;}^{{b_1}-1}}$•4${\;}^{{b_2}-1}}$•…4${\;}^{{b_n}-1}}$=（a_n+1）^b_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：{b_n}是等差数列．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．变形为a_n+1+1=2（a_n+1），利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）数列{b_n}满足：${4}^{{b}_{1}-1}•{4}^{{b}_{2}-1}$…$•{4}^{{b}_{n-1}-1}$•${4}^{{b}_{n}-1}$=$（{a}_{n}+1）^{{b}_{n}}$=${2}^{n{b}_{n}}$，n≥2时，${4}^{{b}_{1}-1}•{4}^{{b}_{2}-1}$…$•{4}^{{b}_{n-1}-1}$=${2}^{（n-1）{b}_{n-1}}$，可得${4}^{{b}_{n}-1}$=${2}^{n{b}_{n}-（n-1）{b}_{n-1}}$，化为：2（b_n-1）=nb_n-（n-1）b_n-1，可得：2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，相减化简即可证明．

解答 解：（1）数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴数列{a_n+1}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴a_n+1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1．
（2）证明：数列{b_n}满足：${4}^{{b}_{1}-1}•{4}^{{b}_{2}-1}$…$•{4}^{{b}_{n-1}-1}$•${4}^{{b}_{n}-1}$=$（{a}_{n}+1）^{{b}_{n}}$=${2}^{n{b}_{n}}$
n=1时，${4}^{{b}_{1}-1}$=${2}^{{b}_{1}}$，解得b₁=2．
n≥2时，${4}^{{b}_{1}-1}•{4}^{{b}_{2}-1}$…$•{4}^{{b}_{n-1}-1}$=${2}^{（n-1）{b}_{n-1}}$，
可得${4}^{{b}_{n}-1}$=${2}^{n{b}_{n}-（n-1）{b}_{n-1}}$，化为：2（b_n-1）=nb_n-（n-1）b_n-1，
可得：2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，
相减可得：（n-1）b_n+1+（n-1）b_n-1=2（n-1）•b_n，
化为：b_n+1+b_n-1=2•b_n，
∴{b_n}是等差数列．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式、指数运算性质、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．