Question

已知函数f（x）=cos（2x-

π

3

）+sin²x-cos²x，
（1）求f（x）的对称轴方程；
（2）用“五点法”画出函数f（x）在一个周期内的简图；
（3）若x∈[-

π

12

，

π

2

]，设函数g（x）=[f（x）]²+f（x），求g（x）的值域．

Answer 1

考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象,两角和与差的余弦函数,两角和与差的正弦函数,正弦函数的定义域和值域

专题：综合题,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用二倍角公式，结合辅助角公式，化简函数，即可求f（x）的对称轴方程；
（2）作出五点，即可得到函数f（x）在一个周期内的简图；
（3）换元，利用配方法，即可求g（x）的值域．

解答： 解：（1）f(x)=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin(2x-

π

6

)
…（2分）
令2x-

π

6

=

π

2

+kπ，k∈Z，得x=

π

3

+

kπ

2

，k∈Z，
∴所求函数对称轴方程为x=

π

3

+

kπ

2

，k∈Z…（4分）
（2）列表

2x- π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
x	π 12	π 3	7π 12	5π 6	13π 12
y	0	1	0	-1	0

（3）∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，则2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，
∴sin(2x-

π

6

)∈[-

3

2

，1]
设t=sin(2x-

π

6

)∈[-

3

2

，1]，则函数y=g(x)=t2+t=(t+

1

2

)2-

1

4

当t=-

1

2

时，ymin=-

1

4

；当t=1时，y_max=2，
即所求函数g（x）的值域为[-

1

4

，2]…（12分）

点评：本题考查三角函数的化简，考查函数的图象，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．