Question

在四棱锥P-ABCD中，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，
AB∥CD，∠ADC=90°，AB=PD=1，CD=2．
（Ⅰ）求异面直线PC与AB所成角的余弦值：
（Ⅱ）求证：BE∥平面PAD．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知条件得异面直线PC与AB所成角为∠PCD，由此能求出异面直线PC与AB所成角的余弦值．
（Ⅱ）取PD的中点F，连结EF，AF，由已知条件推导出四边形ABEF为平行四边形，由此能证明BE∥平面PAD．

解答： （Ⅰ）解：∵底面ABCD是直角梯形，
∴AB∥CD，
∴异面直线PC与AB所成角为∠PCD，
∵PD⊥CD，AB=PD=1，CD=2，
∴PC=

1+4

=

5

，
∴cos∠PCD=

CD

PC

=

2

5

=

2 5

5

．
∴异面直线PC与AB所成角的余弦值为

2 5

5

．
（Ⅱ）证明：取PD的中点F，连结EF，AF，
∵E为PC中点，
∴EF∥CD，且EF=

1

2

CD=1，
在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，
∴EF∥AB，EF=AB，
四边形ABEF为平行四边形，
∴BE∥AF，BE不包含平面PAD，
AF?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．

点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查直线与平面平行的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．