Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC，AP=BP，D为AB的中点．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面PCD：
（Ⅱ）若PC⊥AC，求证：平面PAC⊥平面ABC．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,平面与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知条件得CD⊥AB，PD⊥AB，由此能证明AB⊥平面PCD．
（Ⅱ）由AB⊥平面PCD，得PC⊥AB，又PC⊥AC，从而PC⊥平面ABC，由此能证明平面PAC⊥平面ABC．

解答： （Ⅰ）证明：∵AC=BC，AP=BP，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，PD⊥AB，
∵CD∩PD=D，
∴AB⊥平面PCD．
（Ⅱ）证明：∵AB⊥平面PCD，PC?平面PCD，
∴PC⊥AB，
又PC⊥AC，AC∩AB=A，
∴PC⊥平面ABC，
∵PC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．