Question

设关于x的不等式|x-1|≤a-x．
（1）若a=2，解上述不等式；
（2）若上述的不等式有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）若a=2，关于x的不等式即|x-1|≤2-x，可得 

2-x≥0 x-2≤x-1≤2-x

，由此求得不等式的解集．
（2）关于x的不等式即|x-1|+x≤a，令f（x）=|x-1|+x，求得函数f（x）的最小值，可得实数a的范围．

解答： 解：（1）若a=2，关于x的不等式即|x-1|≤2-x，
∴

2-x≥0 x-2≤x-1≤2-x

，解得x≤

3

2

，故不等式的解集为{x|x≤

3

2

}．
（2）关于x的不等式|x-1|≤a-x，即|x-1|+x≤a．
令f（x）=|x-1|+x=

2x-1，x≥1 1，x＜1

，故函数f（x）的最小值为1，
∴a≥1，即实数a的范围为[1，+∞）．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．