已知数列{an}的前n项和为Sn.且满足Sn=2an-n.n∈N*．(Ⅰ)证明:数列{an+1}为等比数列,(Ⅱ)求数列{an}的通项公式,中数列{an}.若数列{bn}满足bn=log2(an+1)(n∈N*).在bk与bk+1之间插入2k-1(k∈N*)个2.得到一个新的数列{cn}.试问:是否存在正整数m.使得数列{cn}的前m项的和Tm=2013?如果存在.求出m� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-n，n∈N^*．
（Ⅰ）证明：数列{a_n+1}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中数列{a_n}，若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+1）（n∈N^*），在b_k与b_k+1之间插入2^k-1（k∈N^*）个2，得到一个新的数列{c_n}，试问：是否存在正整数m，使得数列{c_n}的前m项的和T_m=2013？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）在数列递推式中取n=n+1得到另一递推式，作差后变形得到

an+1+1

an+1

=2，即说明数列{a_n+1}为等比数列；
（Ⅱ）直接由数列{a_n+1}为等比数列写出其通项公式，则可得到数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=log₂（a_n+1），得到数列{b_n}的通项公式，由题意求得数列{c_n}中，b_k（含b_k项）前的所有项的和，然后求出使得数列{c_n}的前m项的和T_m=2013的m值．

解答： （Ⅰ）证明：由S_n=2a_n-n，得S_n+1=2a_n+1-（n+1），
∴a_n+1=2a_n+1-2a_n-1，a_n+1=2a_n+1，
则a_n+1+1=2（a_n+1），
∴

an+1+1

an+1

=2．
又当n=1时，S₁=2a₁-1，得a₁=1，a₁+1=2．
∴数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得a_n+1=（a₁+1）2^n-1=2ⁿ，故a_n=2ⁿ-1．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得b_n=log₂2ⁿ，即b_n=n（n∈N^*）．
数列{c_n}中，b_k（含b_k项）前的所有项的和是：
（1+2+3+…+k）+（2⁰+2¹+2²+…+2^k-2）2=

k(k+1)

+2^k-2．
当k=10时，其和是55+2¹⁰-2=1077＜2013．
当k=11时，其和是66+2¹¹-2=2112＞2013．
又∵2013-1077=936=468×2，是2的倍数，
∴当m=10+（1+2+2²+…+2⁸）+468=989时，T_m=2013．
∴存在m=989，使得T_m=2013．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，对于（Ⅲ）的理解是解答此题的关键，属中高档题．

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