Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=3，S_n和{a_n}满足等式S_n+1=

n+1

n

S_n+n+1，
（1）求S₂的值；
（2）求证：数列{

Sn

n

}是等差数列；
（3）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）n=2代入，即可求S₂的值；
（2）条件两边同除以n+1，可得数列{

Sn

n

}是等差数列；
（3）求出S_n，利用当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，求数列{a_n}的通项公式．

解答： （1）解：由已知：S₂=2S₁+2=2a₁+2=8…（2分）
（2）证明：∵Sn+1=

n+1

n

Sn+n+1
同除以n+1，可得

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=1…（4分）
∴{

Sn

n

}是以3为首项，1为公差的等差数列．…（6分）
（3）解：由（2）可知，Sn=n2+2n(n∈N*)…（8分）
∴当n=1时，a₁=3…（10分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1…（11分）
经检验，当n=1时也成立∴a_n=2n+1（n∈N^*）…（12分）

点评：本题考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．