Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2 5

5

，且A（0，1）是椭圆C的顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）作倾斜角为

π

4

的直线L，设以椭圆C的右焦点F为抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点，若直线L与抛物线E交于M、N两点，若|MN|=8，求直线L方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意可知，b=1，e=

c

a

=

2 5

5

，由此能示出椭圆C的方程．
（2）由（1）得抛物线E的方程为：y²=8x，设直线l的方程为y=x+m，由此利用根据判别式和椭圆弦长公式能求出直线方程．

解答： 解：（1）由题意可知，b=1，
∵e=

c

a

=

2 5

5

，即

c2

a2

=

a2-1

a2

=

4

5

，解得a²=5，
∴所以椭圆C的方程为：

x2

5

+y2=1．（4分）
（2）由（1）得椭圆C的坐标F（2，0）
∴抛物线E的方程为：y²=8x，…（6分）
设直线l的方程为y=x+m，
代入y²=8x，得x²+（2m-8）x+m²=0，
△=（2m-8）²-4m²=64-32m＞0，得m＜2，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=8-2m，x1x2=m2，
|MN|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

(8-2m)2-4m2

=8

2-m

，…（10分）
又|MN|=8，∴8

2-m

=8，
解得m=1满足m＜2
所求直线方程为y=x+1．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．