Question

如图，已知点F为抛物线C₁：y²=4x的焦点，过点F任作两条互相垂直的直线l₁，l₂，分别交抛物线C₁于A，C，B，D四点，E，G分别为AC，BD的中点．
（Ⅰ）直线EG是否过定点？若过，求出该定点；若不过，说明理由；
（Ⅱ）设直线EG交抛物线C₁于M，N两点，试求|MN|的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）直线EG过定点（3，0），设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），直线AC的方程为x=my+1，代入抛物线C₁的方程，得y²-4my-4=0，由此能求出直线过定点H（3，0）；
（Ⅱ）直线EG的方程为x=ty+3，代入抛物线方程，利用两点间的距离公式，即可求得结论．

解答： 解：（Ⅰ）直线EG过定点（3，0），设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
直线AC的方程为x=my+1，代入抛物线C₁的方程，得y²-4my-4=0，
则x₁+x₂=4m，x₁x₂=4m²+2，
∴AC的中点坐标为E（2m²+1，2m），
由AC⊥BD，得BD的中点坐标为G（

2

m2

+1，-

2

m

），
令2m²+1=

2

m2

+1，得m²=1，此时2m²+1=

2

m2

+1=3，
故直线过点H（3，0），
当m²≠1时，k_HE=

m

m2-1

，
同理k_HG=

m

m2-1

，
∴k_HE=k_HG，
∴E，H，G三点共线，
故直线过定点H（3，0）；
（Ⅱ）设M（

yM2

4

，y_M），N（

yN2

4

，y_N），直线EG的方程为x=ty+3，代入抛物线方程可得y²-4ty-12=0，
∴y_M+y_N=4t，y_My_N=-12，
∴|MN|²=（

yM2

4

-

yN2

4

）²+（y_M-y_N）²=16（t²+3）（t²+1）≥48，
∴|MN|≥4

3

，
当t=0，即直线EG垂直于x轴时，|MN|取得最小值4

3

．

点评：本题考查直线方程的求法，考查直线是否过定点坐标的判断与求法，考查直线与抛物线的位置关系，解题时要认真审题，注意中点坐标公式的合理运用．