Question

设函数f（x）=（m+3）x²-4mx+2m-1，x∈R．
（I）若方程f（x）=0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，求实数m的取值范围．
（Ⅱ）解不等式f（x）＜（m+2）x²-2mx．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系,一元二次不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：（I）由条件利用二次函数的性质可得

m+3≠0 △=16m2-4(m+3)(2m-1)＞0 x1+x2= 4m m+3 ＜0 x1•x2= 2m-1 m+3 ＜0

，由此求得m的范围．
（Ⅱ）不等式即[x-（2m-1）]•（x-1）＜0．再分当m＞1时、当m=1时、当m＜1时三种情况，分别求得不等式的解集．

解答： 解：（I）由）=（m+3）x²-4mx+2m-1，方程f（x）=0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，
可得

m+3≠0 △=16m2-4(m+3)(2m-1)＞0 x1+x2= 4m m+3 ＜0 x1•x2= 2m-1 m+3 ＜0

，即

m≠-3 m＞ 3 2 或m＜1 -3＜m＜0 -3＜m＜ 1 2

，由此求得-3＜m＜0，
即实数m的取值范围为（-3，0）．
（Ⅱ）不等式f（x）＜（m+2）x²-2mx，即 x²-2mx-1＜0，
即[x-（2m-1）]•（x-1）＜0．
当m＞1时，2m-1＞1，不等式的解集为{x|1＜x＜2m-1}；
当m=1时，2m-1=1，不等式的解集为∅；
当m＜1时，2m-1＜1，不等式的解集为{x|2m-1＜x＜1}．

点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．