Question

已知函数f（x）=2|x-2|-x+5
（1）求函数f（x）的最小值m
（2）在（1）的结论下，若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数最值的应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）利用绝对值的意义化简函数，确定单调性，即可求函数f（x）的最小值m
（2）由于|x-a|+|x+2|≥|（x-a）-（x+2）|=|a+2|，等号当且仅当（x-a）（x+2）≤0时成立，故欲使题意成立需|a+2|≥3，即可得出结论．

解答： 解：（1）f（x）=2|x-2|-x+5=

x+1(x≥2) -3x+9(x＜2)

显然，函数f（x）在区间（-∞，2）上单调递减，在区间（2，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）的最小值m=f（2）=3              …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知m=3，|x-a|+|x+2|≥3恒成立，
由于|x-a|+|x+2|≥|（x-a）-（x+2）|=|a+2|，
等号当且仅当（x-a）（x+2）≤0时成立，
故欲使题意成立需|a+2|≥3，解之得a≥1或a≤-5
所以实数a的取值范围为得a≥1或a≤-5．             …（10分）

点评：本题考查函数恒成立问题，考查绝对值的意义，考查学生的计算能力，属于中档题．