Question

如图，在△ABC中，AB=5，点D是BC边上一点，且∠BAD=60°，∠CAD=45°．
（Ⅰ）若BD=

31

，求AD的长；
（Ⅱ）若CD=4BD，求AC的长．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）在三角形ABD值，利用余弦定理列出关系式，将AB，AD，以及cos∠BAD的值代入即可求出AD的长；
（Ⅱ）在三角形ABD与三角形ADC中，分别利用正弦定理列出关系式，

解答： 解：（Ⅰ）在△ABD中，AB=5，∠BAD=60°，BD=

31

，
由余弦定理得：BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos∠BAD，即31=25+AD²-5AD，
解得：AD=6或AD=-1（舍去），
则AD的长为6；
（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理得：

BD

sin∠BAD

=

5

sin∠ADB

，即

BD

sin60°

=

5

sin∠ADB

；
在△ADC中，利用正弦定理得：

DC

sin∠CAD

=

AC

sin∠ADC

，即

DC

sin45°

=

AC

sin∠ADC

，
∵∠ADC=180°-∠ADB，
∴sin∠ADC=sin（180°-∠ADB）=sin∠ADB，
又CD=4BD，两式相比得：

BD

3 2

•

2 2

4BD

=

5

AC

，
整理得：AC=10

6

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及诱导公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．