Question

如图过抛物线y²=4x焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，直线AO交抛物线准线于C点．
（1）求证：BC⊥y轴；
（2）求|AB|+|BC|的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）y²=4x焦点F（1，0），准线x=-1，若直线AB垂直于x轴时，直线BC为y=-2，从而BC⊥y轴；若直线AB不垂直于x轴，设AB的方程为：y=k（x-1），k≠0，联立

y=k(x-1) y2=4x

，得y2-

4

k

y-4=0，由韦达定理得y₁y₂=-4，x₁x₂=1，求出直线BC：y=-

2

x1

，从而BC⊥y轴．
（2）|AB|=

(x1- 1 x1 )2+(2 x1 + 2 x1 )2

=

x12+ 1 x2 -2+4x1+ 4 x1 +8

≥4，当且仅当x₁=1时取最小值，由此能求出|AB|+|BC|的最小值．

解答： （1）证明：∵y²=4x焦点F（1，0），准线x=-1，
∴若直线AB垂直于x轴时，A（1，2），B（1，-2），
直线AO：y=2x，与准线交点为C（-1，-2），
∴直线BC为y=-2，∴BC⊥y轴．
若直线AB不垂直于x轴，设AB的方程为：y=k（x-1），k≠0，
联立

y=k(x-1) y2=4x

，得y2-

4

k

y-4=0，
∵直线与抛物线交于A，B两点，
∴

k2≠0 △=(2k2+4)2-4k4＞0

，即k≠0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=

4

k

，y₁y₂=-4，
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在抛物线y²=4x上，
∴y1=2

x1

，y2=-2

x2

，
由y₁y₂=-4

x1x2

=-4，得x₁x₂=1，
∴A（x₁，2

x1

），B（x₂，-2

x2

）=（

1

x1

，

-2

x1

），
∴直线AO：y=

2

x1

x，与准线x=-1交于C（-2，

-2

x1

），
∴直线BC：y=-

2

x1

，
∴BC⊥y轴．
综上：BC⊥y轴．
（2）解：由（1）得|AB|=

(x1- 1 x1 )2+(2 x1 + 2 x1 )2

=

x12+ 1 x12 -2+4x1+ 4 x1 +8

≥4，
当且仅当x₁=1时取最小值，
∴|AB|+|BC|取最小值时，x₁=1，A（1，2），B（1，-2），C（-2，-2），
∴（|AB|+|BC|）_min=4+3=7．
∴|AB|+|BC|的最小值为7．

点评：本题考查直线与y轴垂直的证明，考查两线段和的最小值的求法，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．