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    已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的离心率为
    1
    2
    ，过其右焦点F2作与x轴垂直的直线l与该椭圆交于A、B两点，与抛物线y2=4x交于C、D两点，且
    AB
    =
    3
    		2
    4
    CD
    ．
    （1）求椭圆E的方程；
    （2）设A（-4，0），过点R（3，0）作与x轴不重合的直线l′交椭圆于P、Q两点，连接AP、AQ分别交直线x=
    16
    3
    于M、N两点．试问直线MR、NR的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
    分析：（1）由已知条件推导出
    c
    a
    =
    1
    2
    2
    b2
    a
    =3
    		2
    •
    		c
    a2=b2+c2
    ，由此能求出椭圆E的方程．
    （2）设直线l'的方程为x=my+3，联立
    x2
    16
    +
    y2
    12
    =1    ，得（3m2+4）y2+18my-21=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由此利用三点共线、韦达定理，结合已知条件能求出直线MR，NR的斜率之积为定值．
    解答： （13分）解：（1）直线l过右焦点F2且与x轴垂直，
    ∴|AB|=
    2b2
    a
    ，|CD|=4
    		c
    ．
    又∵椭圆E的离心率为
    1
    2
    ，且
    AB
    =
    3
    		2
    4
    CD
    ，
    ∴
    c
    a
    =
    1
    2
    2
    b2
    a
    =3
    		2
    •
    		c
    a2=b2+c2
    ，
    解得a2=16，b2=12，故椭圆E的方程为
    x2
    16
    +
    y2
    12
    =1    ．…（5分）
    （2）由题意知直线l'的斜率不为零，设直线l'的方程为x=my+3，
    联立
    x2
    16
    +
    y2
    12
    =1    ，消去x得（3m2+4）y2+18my-21=0
    设P（x1，y1），Q（x2，y2），
    则y1+y2=-
    18m
    3m2+4
    ，y1y2=-
    21
    3m2+4
    …（7分）
    ∵A，P，M三点共线，∴
    yM
    16
    3
    +4
    =
    y1
    x1+4
    ，即yM=
    28
    3
    •
    y1
    x1+4
    …（8分）
    同理可得，yN=
    28
    3
    •
    y2
    x2+4
    kMR•kNR=
    yM
    16
    3
    -3
    •
    yN
    16
    3
    -3
    =
    9yMyN
    49
    =
    16y1y2
    (x1+4)(x2+4)
    …（10分）
    而(x1+4)(x2+4)=(my1+7)(my2+7)=m2y1y2+7m(y1+y2)+49…（11分）
    ∴kMR•kMN=
    16×
    -21
    3m2+4
    m2×
    -21
    3m2+4
    +7m×
    -18m
    3m2+4
    +49
    =
    16×(-21)
    4×49
    =-
    12
    7

    故直线MR，NR的斜率之积为定值-
    12
    7
    ．…（13分）
    点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的斜率之积为定值的证明，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．
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    1
    2
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    y24343864
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    y
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    		31
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    anbn+1
    2bn
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    1
    4
    ，an=1-
    1
    an-1
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    ．

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