Question

设数列{a_n}、{b_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+1=

anbn+1

2bn

，a_nb_n=a_n+1b_n+1．
（Ⅰ）求（a_n）的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}满足c_n=b_nlog₃a_n，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由a_nb_n=a_n+1b_n+1得出{a_nb_n}是常数列．利用a₁=1，a₂=3，a₂=

a1b1+1

2b1

，得b₁=

1

5

，从而a_nb_n=a₁b₁=

1

5

，b_n=

1

5an

，得出{a_n}是以a₁=1为首项，以3 为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）c_n=b_nlog₃a_n=

1

5

（n-1）

1

3n-1

，应用错位相消法求和．

解答： 解：（Ⅰ）由a₁=1，a₂=3，a₂=

a1b1+1

2b1

，得b₁=

1

5

，
∵a_nb_n=a_n+1b_n+1．∴{a_nb_n}是常数列．
∴a_nb_n=a₁b₁=

1

5

，b_n=

1

5an

，a_n+1=

an

2

+

1

2bn

=3a_n，
∴{a_n}是以a₁=1为首项，以3 为公比的等比数列．
∴a_n=3^n-1，
（Ⅱ）c_n=b_nlog₃a_n=

1

5

（n-1）

1

3n-1

，
设数列{c_n}的前n项和为S_n，
则S_n=

1

5

[1×

1

31

+2×

1

32

+…+(n-1)

1

3n-1

]，①

1

3

S_n=

1

5

[1×

1

32

+2×

1

33

+…+(n-2)

1

3n-1

+(n-1)

1

3n

]②
①-②得，

2

3

S_n=

1

5

[

1

3

+

1

32

+…+

1

3n-1

-(n-1)

1

3n

]=

1

5

[

1 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-(n-1)

1

3n

]，
∴S_n=

3

20

-

2n+1

20•3n-1

点评：本题主要考查的递推关系与通项公式，错位相消法求和，考查计算能力，逻辑推理能力．